สูตรอินทิกรัลในรูปของปริพันธ์บางส่วนการแทนที่ไม่แน่นอนและตรีโกณมิติจะได้รับการศึกษาร่วมกันในการอภิปรายด้านล่าง ตั้งใจฟัง!
อินทิกรัลเป็นรูปแบบของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ผกผันหรือผกผันของการดำเนินการอนุพันธ์และ จำกัด ของจำนวนหรือพื้นที่หนึ่ง ๆ จากนั้นยังแบ่งออกเป็นสองคืออินทิกรัลไม่แน่นอนและปริพันธ์แน่นอน
อินทิกรัลไม่แน่นอนหมายถึงนิยามของอินทิกรัลเป็นอินเวอร์ส (ผกผัน) ของอนุพันธ์ในขณะที่อินทิกรัลถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งหรือสมการ
อินทิกรัลถูกใช้ในด้านต่างๆ ตัวอย่างเช่นในวิชาคณิตศาสตร์และวิศวกรรมปริพันธ์จะใช้ในการคำนวณปริมาตรของวัตถุที่หมุนและพื้นที่บนเส้นโค้ง
ในสาขาฟิสิกส์การใช้ปริพันธ์จะใช้ในการคำนวณและวิเคราะห์วงจรของกระแสไฟฟ้าสนามแม่เหล็กและอื่น ๆ
สูตรอินทิกรัลทั่วไป
สมมติว่ามีฟังก์ชันธรรมดา axn อินทิกรัลของฟังก์ชันคือ
ข้อมูล:
- k: สัมประสิทธิ์
- x: ตัวแปร
- n: กำลัง / องศาของตัวแปร
- C: ค่าคงที่
สมมติว่ามีฟังก์ชัน f (x) หากเราจะกำหนดพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยกราฟ f (x) ก็สามารถกำหนดได้โดย
โดยที่ a และ b คือเส้นแนวตั้งหรือขอบเขตพื้นที่ที่คำนวณจากแกน x สมมติว่าอินทิกราของ f (x) แสดงด้วย F (x) หรือถ้าเขียน
แล้ว
ข้อมูล:
- a, b: ขีด จำกัด บนและล่างของอินทิกรัล
- f (x): สมการเส้นโค้ง
- F (x): พื้นที่ใต้เส้นโค้ง f (x)
คุณสมบัติเชิงปริพันธ์
คุณสมบัติอินทิกรัลบางประการมีดังนี้:
อินทิกรัลไม่ จำกัด
อินทิกรัลไม่แน่นอนเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับอนุพันธ์ คุณสามารถเรียกมันว่าแอนตี้อนุพันธ์หรือแอนตี้ไดเดอร์ได
อ่านเพิ่มเติม: ระบบของจดหมายสมัครงาน (+ ตัวอย่างที่ดีที่สุด)อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันส่งผลให้ฟังก์ชันใหม่ไม่มีค่าคงที่เนื่องจากยังมีตัวแปรอยู่ในฟังก์ชันใหม่ แน่นอนรูปแบบทั่วไปของอินทิกรัล
สูตรอินทิกรัลไม่แน่นอน:
ข้อมูล:
- f (x): สมการเส้นโค้ง
- F (x): พื้นที่ใต้เส้นโค้ง f (x)
- C: ค่าคงที่
ตัวอย่างของปริพันธ์ไม่แน่นอน:
การแทนที่อินทิกรัล
ปัญหาหรือปริพันธ์บางอย่างของฟังก์ชันสามารถแก้ไขได้โดยสูตรปริพันธ์การแทนที่หากมีการคูณของฟังก์ชันโดยที่ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น
พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:
เราสมมติว่า U = ½ x2 + 3 แล้ว dU / dx = x
ดังนั้น x dx = dU
สมการอินทิกรัลสำหรับการแทนที่กลายเป็น
= -2 cos U + C = -2 คอส (½ x2 + 3) + C
ตัวอย่าง
สมมติว่า 3x2 + 9x -1 เป็น u
เพื่อให้ du = 6x + 9
2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du
จากนั้นเราแทนที่ u อีกครั้งด้วย 3x2 + 9x -1 ดังนั้นเราจึงได้รับคำตอบ:
อินทิกรัลบางส่วน
โดยทั่วไปแล้วสูตรอินทิกรัลบางส่วนจะใช้เพื่อแก้ปัญหาอินทิกรัลของผลคูณของสองฟังก์ชัน โดยทั่วไปแล้วปริพันธ์บางส่วนถูกกำหนดด้วย
ข้อมูล:
- U, V: ฟังก์ชัน
- dU, dV: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน U และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน V
ตัวอย่าง
ผลของ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx คืออะไร?
การตั้งถิ่นฐาน:
ตัวอย่าง
คุณ = 3x + 2
dv = บาป (3x + 2) dx
แล้ว
du = 3 dx
v = ʃบาป (3x + 2) dx = - ⅓ cos (3x + 2)
ดังนั้น
∫ u dv = uv - ∫v du
∫คุณ dv = (3x + 2) (- ⅓ cos (3x + 2)) - ∫ (- ⅓ cos (3x + 2)) 3 dx
∫คุณ dv = - (x + 2/3 ) cos (3x + 2) + ⅓ ⅓บาป (3x + 2) + C
∫คุณ dv = - (x + 2/3 ) cos (3x + 2) +1 / 9บาป (3x + 2) + C
ดังนั้นผลลัพธ์ของ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx คือ - (x + 2/3 ) cos (3x + 2) +1 / 9บาป (3x + 2) + C.
อ่านเพิ่มเติม: ลักษณะของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ (เต็ม) พร้อมรูปภาพและคำอธิบายตรีโกณมิติอินทิกรัล
สูตรอินทิกรัลสามารถใช้กับฟังก์ชันตรีโกณมิติได้เช่นกัน การดำเนินการของปริพันธ์ตรีโกณมิติดำเนินการโดยใช้แนวคิดเดียวกันกับปริพันธ์พีชคณิตซึ่งเป็นส่วนผกผันของการได้มา จนกว่าจะสรุปได้ว่า:
การกำหนดสมการเส้นโค้ง
การไล่ระดับสีและสมการแทนเจนต์เพื่อโค้ง ณ จุดหนึ่ง ถ้า y = f (x) ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดใด ๆ บนเส้นโค้งคือ y '= = f' (x) ดังนั้นหากทราบความชันของเส้นสัมผัสสมการเส้นโค้งสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีต่อไปนี้
y = ʃ f '(x) dx = f (x) + ค
หากคุณทราบจุดใดจุดหนึ่งผ่านเส้นโค้งคุณสามารถหาค่าของ c เพื่อให้สามารถกำหนดสมการของเส้นโค้งได้
ตัวอย่าง
ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด (x, y) คือ 2x - 7 ถ้าเส้นโค้งผ่านจุด (4, –2) ให้หาสมการของเส้นโค้ง
ตอบ:
f '(x) = = 2x - 7
y = f (x) = ʃ (2x - 7) dx = x2 - 7x + c
เนื่องจากเส้นโค้งผ่านจุด (4, –2)
แล้ว: f (4) = –2 ↔ 42 - 7 (4) + c = –2
–12 + c = –2
c = 10
ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ y = x2 - 7x + 10
ดังนั้นการอภิปรายเกี่ยวกับสูตรอินทิกรัลหลาย ๆ สูตรหวังว่าจะเป็นประโยชน์