สูตรอินทิกรัลบางส่วนการแทนที่ไม่แน่นอนและตรีโกณมิติ

สูตรอินทิกรัล

สูตรอินทิกรัลในรูปของปริพันธ์บางส่วนการแทนที่ไม่แน่นอนและตรีโกณมิติจะได้รับการศึกษาร่วมกันในการอภิปรายด้านล่าง ตั้งใจฟัง!

อินทิกรัลเป็นรูปแบบของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ผกผันหรือผกผันของการดำเนินการอนุพันธ์และ จำกัด ของจำนวนหรือพื้นที่หนึ่ง ๆ จากนั้นยังแบ่งออกเป็นสองคืออินทิกรัลไม่แน่นอนและปริพันธ์แน่นอน

อินทิกรัลไม่แน่นอนหมายถึงนิยามของอินทิกรัลเป็นอินเวอร์ส (ผกผัน) ของอนุพันธ์ในขณะที่อินทิกรัลถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งหรือสมการ

อินทิกรัลถูกใช้ในด้านต่างๆ ตัวอย่างเช่นในวิชาคณิตศาสตร์และวิศวกรรมปริพันธ์จะใช้ในการคำนวณปริมาตรของวัตถุที่หมุนและพื้นที่บนเส้นโค้ง

ในสาขาฟิสิกส์การใช้ปริพันธ์จะใช้ในการคำนวณและวิเคราะห์วงจรของกระแสไฟฟ้าสนามแม่เหล็กและอื่น ๆ

สูตรอินทิกรัลทั่วไป

สมมติว่ามีฟังก์ชันธรรมดา axn อินทิกรัลของฟังก์ชันคือ

สูตรอินทิกรัล

ข้อมูล:

  • k: สัมประสิทธิ์
  • x: ตัวแปร
  • n: กำลัง / องศาของตัวแปร
  • C: ค่าคงที่

สมมติว่ามีฟังก์ชัน f (x) หากเราจะกำหนดพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยกราฟ f (x) ก็สามารถกำหนดได้โดย

โดยที่ a และ b คือเส้นแนวตั้งหรือขอบเขตพื้นที่ที่คำนวณจากแกน x สมมติว่าอินทิกราของ f (x) แสดงด้วย F (x) หรือถ้าเขียน

สูตรอินทิกรัล

แล้ว

สูตรอินทิกรัล

ข้อมูล:

  • a, b: ขีด จำกัด บนและล่างของอินทิกรัล
  • f (x): สมการเส้นโค้ง
  • F (x): พื้นที่ใต้เส้นโค้ง f (x)

คุณสมบัติเชิงปริพันธ์

คุณสมบัติอินทิกรัลบางประการมีดังนี้:

อินทิกรัลไม่ จำกัด

อินทิกรัลไม่แน่นอนเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับอนุพันธ์ คุณสามารถเรียกมันว่าแอนตี้อนุพันธ์หรือแอนตี้ไดเดอร์ได

อ่านเพิ่มเติม: ระบบของจดหมายสมัครงาน (+ ตัวอย่างที่ดีที่สุด)

อินทิกรัลไม่ จำกัด ของฟังก์ชันส่งผลให้ฟังก์ชันใหม่ไม่มีค่าคงที่เนื่องจากยังมีตัวแปรอยู่ในฟังก์ชันใหม่ แน่นอนรูปแบบทั่วไปของอินทิกรัล

สูตรอินทิกรัลไม่แน่นอน:

ข้อมูล:

  • f (x): สมการเส้นโค้ง
  • F (x): พื้นที่ใต้เส้นโค้ง f (x)
  • C: ค่าคงที่

ตัวอย่างของปริพันธ์ไม่แน่นอน:

การแทนที่อินทิกรัล

ปัญหาหรือปริพันธ์บางอย่างของฟังก์ชันสามารถแก้ไขได้โดยสูตรปริพันธ์การแทนที่หากมีการคูณของฟังก์ชันโดยที่ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

สูตรอินทิกรัล

เราสมมติว่า U = ½ x2 + 3 แล้ว dU / dx = x

ดังนั้น x dx = dU

สมการอินทิกรัลสำหรับการแทนที่กลายเป็น

= -2 cos U + C = -2 คอส (½ x2 + 3) + C

ตัวอย่าง

สมมติว่า 3x2 + 9x -1 เป็น u

เพื่อให้ du = 6x + 9

2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du

สูตรอินทิกรัล

จากนั้นเราแทนที่ u อีกครั้งด้วย 3x2 + 9x -1 ดังนั้นเราจึงได้รับคำตอบ:

อินทิกรัลบางส่วน

โดยทั่วไปแล้วสูตรอินทิกรัลบางส่วนจะใช้เพื่อแก้ปัญหาอินทิกรัลของผลคูณของสองฟังก์ชัน โดยทั่วไปแล้วปริพันธ์บางส่วนถูกกำหนดด้วย

สูตรอินทิกรัล

ข้อมูล:

  • U, V: ฟังก์ชัน
  • dU, dV: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน U และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน V

ตัวอย่าง

ผลของ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx คืออะไร?

การตั้งถิ่นฐาน:

ตัวอย่าง

คุณ = 3x + 2

dv = บาป (3x + 2) dx

แล้ว

du = 3 dx

v = ʃบาป (3x + 2) dx = - ⅓ cos (3x + 2)

ดังนั้น

∫ u dv = uv - ∫v du

∫คุณ dv = (3x + 2) (- ⅓ cos (3x + 2)) - ∫ (- ⅓ cos (3x + 2)) 3 dx

∫คุณ dv = - (x + 2/3 ) cos (3x + 2) + ⅓ ⅓บาป (3x + 2) + C

∫คุณ dv = - (x + 2/3 ) cos (3x + 2) +1 / 9บาป (3x + 2) + C

ดังนั้นผลลัพธ์ของ∫ (3x + 2) sin (3x + 2) dx คือ - (x + 2/3 ) cos (3x + 2) +1 / 9บาป (3x + 2) + C.

อ่านเพิ่มเติม: ลักษณะของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ (เต็ม) พร้อมรูปภาพและคำอธิบาย

ตรีโกณมิติอินทิกรัล

สูตรอินทิกรัลสามารถใช้กับฟังก์ชันตรีโกณมิติได้เช่นกัน การดำเนินการของปริพันธ์ตรีโกณมิติดำเนินการโดยใช้แนวคิดเดียวกันกับปริพันธ์พีชคณิตซึ่งเป็นส่วนผกผันของการได้มา จนกว่าจะสรุปได้ว่า:

สูตรอินทิกรัล

การกำหนดสมการเส้นโค้ง

การไล่ระดับสีและสมการแทนเจนต์เพื่อโค้ง ณ จุดหนึ่ง ถ้า y = f (x) ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดใด ๆ บนเส้นโค้งคือ y '= = f' (x) ดังนั้นหากทราบความชันของเส้นสัมผัสสมการเส้นโค้งสามารถกำหนดได้ด้วยวิธีต่อไปนี้

y = ʃ f '(x) dx = f (x) + ค

หากคุณทราบจุดใดจุดหนึ่งผ่านเส้นโค้งคุณสามารถหาค่าของ c เพื่อให้สามารถกำหนดสมการของเส้นโค้งได้

ตัวอย่าง

ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด (x, y) คือ 2x - 7 ถ้าเส้นโค้งผ่านจุด (4, –2) ให้หาสมการของเส้นโค้ง

ตอบ:

f '(x) = = 2x - 7

y = f (x) = ʃ (2x - 7) dx = x2 - 7x + c

เนื่องจากเส้นโค้งผ่านจุด (4, –2)

แล้ว: f (4) = –2 ↔ 42 - 7 (4) + c = –2

–12 + c = –2

c = 10

ดังนั้นสมการเส้นโค้งคือ y = x2 - 7x + 10

ดังนั้นการอภิปรายเกี่ยวกับสูตรอินทิกรัลหลาย ๆ สูตรหวังว่าจะเป็นประโยชน์