ตัวอย่างปัญหาการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ต่อไปนี้เป็นปัญหาตัวอย่างเพื่อให้คุณเข้าใจวิธีแก้ปัญหาการพิสูจน์สูตรโดยใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์ได้ดีขึ้น

แถว

ตัวอย่าง 1

พิสูจน์ 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1) สำหรับทุกๆ n จำนวนธรรมชาติ

ตอบ:

P (n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)

จะได้รับการพิสูจน์ว่า n = (n) เป็นจริงสำหรับทุกๆ n ∈ N

ขั้นตอนแรก :

จะแสดงว่า n = (1) ถูกต้อง

2 = 1 (1 + 1)

ดังนั้น P (1) จึงถูกต้อง

ขั้นตอนที่สอง :

สมมติว่า n = (k) เป็นจริงเช่น

2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1), k ∈ N

ขั้นตอนที่สาม

จะแสดงให้เห็นว่า n = (k + 1) ก็เป็นจริงเช่นกันนั่นคือ

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

จากสมมติฐาน:

2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1)

เพิ่มทั้งสองด้านด้วย u _{k + 1} :

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)

ดังนั้น n = (k + 1) ถูกต้อง

ตัวอย่าง 2

ใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์สมการ

Sn = 1 + 3 + 5 +7 + … + (2n-1) = n2 สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดn ≥ 1

ตอบ:

ขั้นตอนแรก :
จะแสดงว่า n = (1) ถูกต้อง
S1 = 1 = 12
ขั้นตอนที่สอง
สมมติว่า n = (k) เป็นจริงนั่นคือ
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
ขั้นตอนที่สาม
พิสูจน์ว่า n = (k + 1) เป็นจริง
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
จำไว้ว่า 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
แล้ว
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
จากนั้นจึงพิสูจน์สมการข้างต้น

ตัวอย่างที่ 3

พิสูจน์ว่า1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2 เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกๆ n

ตอบ:

ขั้นตอนแรก :

จะแสดงว่า n = (1) ถูกต้อง

1 = 12

ดังนั้น P (1) จึงถูกต้อง

ขั้นตอนที่สอง :

สมมติว่า n = (k) เป็นจริงนั่นคือ

1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) = k2, k ∈ N

ขั้นตอนที่สาม:

จะแสดงให้เห็นว่า n = (k + 1) ก็เป็นจริงเช่นกันนั่นคือ

1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2

จากสมมติฐาน:
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
เพิ่มทั้งสองด้านด้วย u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
ดังนั้น n = (k + 1) ก็เป็นจริงเช่นกัน

แผนก

ตัวอย่างที่ 4

พิสูจน์ว่า n3 + 2n หารด้วย 3 สำหรับจำนวนธรรมชาติทุกๆ n

ตอบ:

ขั้นตอนแรก :

จะแสดงว่า n = (1) ถูกต้อง

13 + 2.1 = 3 = 3.1

ดังนั้น n = (1) ถูกต้อง

ขั้นตอนที่สอง :

สมมติว่า n = (k) เป็นจริงนั่นคือ

k3 + 2k = 3 ม., k ∈ NN

ขั้นตอนที่สาม:

จะแสดงให้เห็นว่า n = (k + 1) ก็เป็นจริงเช่นกันนั่นคือ

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (ม. + k2 + k + 1)

เนื่องจาก m เป็นจำนวนเต็มและ k เป็นจำนวนธรรมชาติ (m + k2 + k + 1) จึงเป็นจำนวนเต็ม

สมมติว่า p = (m + k2 + k + 1) แล้ว

(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p โดยที่ p ∈ ZZ

ดังนั้น n = (k + 1) ถูกต้อง

ความไม่เท่าเทียมกัน

ตัวอย่างที่ 5

พิสูจน์ว่าทุกจำนวนธรรมชาติ n ≥ 2 ใช้ได้

3n> 1 + 2n

ตอบ:

ขั้นตอนแรก :

จะแสดงว่า n = (2) ถูกต้อง

32 = 9> 1 + 2.2 = 5

ดังนั้น P (1) จึงถูกต้อง

ขั้นตอนที่สอง :

สมมติว่า n = (k) เป็นจริงนั่นคือ

3k> 1 + 2k, k ≥ 2

ขั้นตอนที่สาม:

จะแสดงให้เห็นว่า n = (k + 1) ก็เป็นจริงเช่นกันนั่นคือ

3k + 1> 1 + 2 (k + 1)

3k + 1 = 3 (3k)
3k + 1> 3 (1 + 2k) (เพราะ 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (เพราะ 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)

ดังนั้น n = (k + 1) ก็เป็นจริงเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 6

พิสูจน์ว่าทุกจำนวนธรรมชาติ n ≥ 4 ถูกต้อง

(n + 1)! > 3n

ตอบ:

ขั้นตอนแรก :

จะแสดงว่า n = (4) ถูกต้อง

(4 + 1)! > 34

ด้านซ้าย: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

ด้านขวา: 34 = 81

ดังนั้น n = (4) ถูกต้อง

ขั้นตอนที่สอง :

สมมติว่า n = (k) เป็นจริงนั่นคือ

(k + 1)! > 3k, k ≥ 4

ขั้นตอนที่สาม:

จะแสดงให้เห็นว่า n = (k + 1) ก็เป็นจริงเช่นกันนั่นคือ

(k + 1 + 1)! > 3k + 1

(k + 1 + 1)! = (ก + 2)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (เพราะ (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (เพราะ k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1

ดังนั้น n = (k + 1) ก็เป็นจริงเช่นกัน